考研復(fù)試大綱包含了考試內(nèi)容及考試形式，對(duì)于參加復(fù)試的同學(xué)有很大的參考意義。目前，2023南京信息工程大學(xué)考研復(fù)試大綱已公布，為了大家更好的安排復(fù)習(xí)，小編為大家整理了2023南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)綜合考研復(fù)試大綱的詳細(xì)內(nèi)容，有需要的同學(xué)可以查看收藏。
南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)綜合考研復(fù)試大綱
　　科目代碼：F02
　　科目名稱：數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)綜合
　　第一部分目標(biāo)與基本要求
　　一、目標(biāo)
　　“數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)綜合”科目包括常微分方程和數(shù)值分析兩門課程，這兩門課程是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要基礎(chǔ)課程。通過(guò)這兩門課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能系統(tǒng)地掌握有關(guān)常微分方程的基本理論、求解常微分方程的常用方法、數(shù)值分析中的經(jīng)典算法及其分析與應(yīng)用，并為后繼各數(shù)學(xué)分支的深入研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
　　二、基本要求
　　“數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)綜合”課目考試的主要內(nèi)容為常微分方程的基本理論及各類常微分方程的求解方法、數(shù)值分析的基本理論、非線性方程（組）與線性代數(shù)方程組的數(shù)值方法、數(shù)值微分與數(shù)值積分及特征值的數(shù)值方法等。同時(shí)要求考生了解常微分方程的穩(wěn)定性理論，掌握矩陣分析基礎(chǔ)，熟練分析經(jīng)典算法的穩(wěn)定性或收斂性，熟悉經(jīng)典算法的設(shè)計(jì)及其應(yīng)用。
　　第二部分具體內(nèi)容
　　一、常微分方程部分：
　　1、初等積分法
　　(1)了解常微分方程產(chǎn)生的背景、它與數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)課程之間的關(guān)系，了解線性方程和非線性方程的判別；
　　(2)了解變量分離方程、齊次方程相關(guān)概念；
　　(3)了解一階線性方程的相關(guān)定義，如齊次方程、非齊次方程、齊次項(xiàng)和非齊次項(xiàng)等，了解Bernoulli方程的概念；
　　(4)了解全微分方程、積分因子的概念；
　　(5)了解一階隱式方程的定義、一階隱式方程的四種類型、高階方程的定義;
　　(6)理解常微分方程相關(guān)概念：常微分方程、解、特解、通解，初始條件、積分曲線等；
　　(7)理解初等積分法的內(nèi)涵，即利用不定積分求微分方程的解；理解微分形式的變量分離方程；
　　(8)理解Bernoulli方程的解法、一階線性方程初始問(wèn)題的求解公式；
　　(9)理解全微分方程求解思想，即利用二元函數(shù)微分理論，求二元函數(shù)微分的原函數(shù)；理解積分因子的不唯一性；
　　(10)理解一階隱式方程與顯式方程的不同之處、一階隱式方程的求解難點(diǎn)、高階方程的求解難點(diǎn);
　　(11)掌握變量分離方程的解法；
　　(12)掌握一階線性齊次方程的解法、常數(shù)變易法、一階線性非齊次方程的解法；
　　(13)掌握全微分方程的解法、全微分方程的判斷、特殊積分因子的求法；
　　(14)掌握四種類型的一階隱式方程的求解方法、高階方程的降階法(不顯含自變量的高階方程,恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程)。
　　2、基本定理
　　(1)了解解的存在與唯一性定理的條件和結(jié)論、解的存在區(qū)間、Picard逐步逼近法等概念；
　　(2)了解局部Lipschitz條件的概念、函數(shù)是否滿足局部Lipschitz條件的驗(yàn)證、局部Lipschitz條件在解的延展過(guò)程中的作用、解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和可微性；
　　(3)理解全局Lipschitz條件的概念、函數(shù)是否滿足Lipschitz條件的驗(yàn)證、Lipschitz條件在存在唯一性定理證明中的作用；
　　(4)理解飽和解、最大存在區(qū)間的概念、解的延展過(guò)程、飽和解的存在區(qū)間與解的漸近關(guān)系；
　　(5)掌握解的存在與唯一性定理的證明、Picard解序列的構(gòu)造及收斂性的證明，會(huì)用Picard逐步逼近法求近似解；
　　(6)掌握比較原理和解的延展定理及其證明、初值對(duì)解的存在區(qū)間的影響。
　　3、一階線性微分方程組
　　(1)了解線性微分方程組的有關(guān)概念(系數(shù)矩陣、向量值函數(shù)、方程組的初始問(wèn)題)、方程組解的存在唯一性定理及證明思路；
　　(2)了解常系數(shù)線性微分方程組的系數(shù)矩陣的特征方程、特征根、特征向量，了解特征根、特征向量與解的關(guān)系；
　　(3)理解向量值函數(shù)線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念，理解Wronsky行列式的概念、基本解組的概念、基本解的Wronsky行列式的性質(zhì)、Liouville公式；
　　(4)掌握利用系數(shù)矩陣的特征根、特征向量求常系數(shù)線性微分方程組的基本解組的方法；
　　(5)掌握線性（齊次、非齊次）微分方程組解的結(jié)構(gòu)、通解基本定理、常數(shù)變易法，掌握向量值函數(shù)線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的判斷；
　　(6)掌握常系數(shù)線性微分方程組的解法。
　　4、n階線性微分方程
　　(1)了解n階線性微分方程解的存在唯一性定理、函數(shù)組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)、函數(shù)組的Wronsky行列式等概念；
　　(2)了解n階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程、特征根；由特征根確定微分方程的解；
　　(3)了解非齊次項(xiàng)的概念、利用常數(shù)變易法求特解的方法；
　　(4)了解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的物理意義、振動(dòng)、無(wú)阻尼自由振動(dòng)、阻尼自由振動(dòng)、無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)、阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)等概念；
　　(5)了解Laplace變換及其在微分方程初值問(wèn)題求解問(wèn)題中的應(yīng)用；
　　(6)理解n階線性微分方程與n維線性方程組之間的關(guān)系，即對(duì)任意一個(gè)n階線性微分方程，可將其化為一個(gè)n維線性方程組，且他們的解是等價(jià)的；理解基本解組、Liouville公式；
　　(7)理解由復(fù)特征根如何確定微分方程解的方法；
　　(8)理解比較系數(shù)法與常數(shù)變易法的差異；
　　(9)理解微分方程的解與振動(dòng)之間的聯(lián)系，共振概念；
　　(10)理解冪級(jí)數(shù)解法大意；
　　(11)掌握函數(shù)組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的證明方法，n階（齊次、非齊次）線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)定理的證明；
　　(12)掌握n階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法；
　　(13)掌握第一類型、第二類型n階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法；
　　(14)掌握通過(guò)求二階常系數(shù)線性方程的通解探討力學(xué)問(wèn)題中振動(dòng)現(xiàn)象的方法，理解阻尼項(xiàng)和強(qiáng)迫項(xiàng)對(duì)振動(dòng)的影響；
　　(15)掌握相關(guān)定理及其在微分方程初值問(wèn)題求解問(wèn)題中的應(yīng)用。
　　5、定性、穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介
　　(1)了解穩(wěn)定性相關(guān)概念；
　　(2)理解簡(jiǎn)單的李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造方法、正定函數(shù)、負(fù)定函數(shù)的定義；
　　(3)掌握李雅普諾夫函數(shù)的定義，通過(guò)構(gòu)造簡(jiǎn)單的李雅普諾夫函數(shù)，利用相關(guān)定理，判斷零解的穩(wěn)定性。
　　二、數(shù)值分析部分
　　1、緒論
　　(1)了解計(jì)算機(jī)算法的特性；
　　(2)理解誤差的定性分析與避免誤差的危害、數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)、算法的數(shù)值穩(wěn)定性；
　　(3)掌握誤差的來(lái)源與分類、誤差與有效數(shù)字；
　　2、矩陣分析基礎(chǔ)
　　(1)建立線性空間、賦范線性空間、內(nèi)積空間的概念；
　　(2)掌握向量和矩陣的范數(shù)、向量和矩陣序列的極限；
　　(3)掌握內(nèi)積空間中的正交系、矩陣的三角分解、正交分解、奇異值分解；
　　(4)掌握施密特(Schmidt)正交化過(guò)程、正交多項(xiàng)式；
　　3、數(shù)值逼近
　　(1)了解幾種常用插值法的優(yōu)缺點(diǎn)，并能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)牟逯捣椒ㄟM(jìn)行函數(shù)逼近；
　　(2)了解三角多項(xiàng)式逼近及快速傅立葉變換；
　　(3)理解插值法的基本原理；掌握用拉格朗日插值公式、牛頓插值公式進(jìn)行插值的方法及其誤差估計(jì)；
　　(4)理解函數(shù)逼近、有理逼近的概念；
　　(5)掌握分段低次插值、樣條插值、埃爾米特插值及其插值余項(xiàng)和誤差估計(jì)方法；
　　(6)掌握最佳平方逼近方法、曲線擬合的最小二乘法；對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù)，能夠根據(jù)最小二乘原理在某一函數(shù)類中選擇函數(shù)，與其所給數(shù)據(jù)組擬合來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題。
　　4、線性方程組的數(shù)值解法
　　(1)了解研究求解線性方程組的數(shù)值方法分類及直接法的應(yīng)用范圍；
　　(2)了解極小化方法：最速下降法、共軛梯度法；
　　(3)掌握線性方程組的直接解法：高斯主元消去法、LU三角分解法、平方根法、追趕法與三對(duì)角方程組的解法；
　　(4)理解矩陣的譜半徑、矩陣的條件數(shù)等概念，并能利用條件數(shù)判別方程組是否病態(tài)以及對(duì)方程組的直接方法的誤差進(jìn)行估計(jì)；
　　(5)掌握線性方程組的經(jīng)典迭代方法：雅可比迭代法、高斯-塞德?tīng)柕癝OR方法的計(jì)算分量形式、矩陣形式以及迭代法的收斂性判定方法；
　　(6)了解線性方程組的Krylov子空間方法。
　　5、非線性方程組求根
　　(1)了解求解非線性方程和非線性方程組的常用數(shù)值方法；
　　(2)理解迭代法的基本原理、迭代過(guò)程的收斂性及收斂速度、迭代過(guò)程的加速原理；
　　(3)掌握求解非線性方程組的不動(dòng)點(diǎn)迭代法、牛頓法、弦截法及其收斂性；
　　6、數(shù)值積分與數(shù)值微分
　　(1)了解數(shù)值微分方法的基本思想、高斯-勒讓德等求積公式、多重積分、數(shù)值微分公式；
　　(2)理解數(shù)值積分公式的一般形式及導(dǎo)出方法、理解自適應(yīng)積分方法；比較牛頓-柯特斯求積公式與高斯求積公式的異同點(diǎn)；理解龍貝格算法；
　　(3)掌握代數(shù)精度的概念、插值型的求積公式、幾種低階求積公式的使用及余項(xiàng)分析。
　　7、矩陣特征值問(wèn)題
　　(1)了解特征值的估計(jì)、正交變換的Givens和Householder變換、矩陣的QR法分解；
　　(2)理解冪法和反冪法的原理和解決的對(duì)象及其加速方法,矩陣的QR法分解的原理和變形和同時(shí)過(guò)程；
　　(3)掌握冪法、反冪法和基本的QR法。
　　第三部分有關(guān)說(shuō)明
　　1、命題說(shuō)明（可包含題型設(shè)計(jì)）：
　　(1)分值比例：試卷滿分為150分，考試時(shí)間180分鐘。試卷內(nèi)容包括：數(shù)值分析75分；常微分方程75分。
　　(2)題型分布：簡(jiǎn)答題，約40%；計(jì)算、證明題，約60%。
　　2、參考書目：
　　(1)東北師范大學(xué)微分方程教研室.常微分方程.北京：高等教育出版社，2005.
　　(2)李慶楊.數(shù)值分析.北京：清華大學(xué)出版社，2008.
　　3、其他規(guī)定：考試方式為閉卷筆試，總分150分，考試時(shí)間為180分鐘。
　　4、本科目考試不得使用計(jì)算器。
　　以上信息來(lái)源：南京信息工程大學(xué)研究生院
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