考研數(shù)學(xué)中，增光矩陣的秩為什么小于等于m？

其他回答

• 苒同學(xué)
  為什么以范德蒙矩陣為系數(shù)矩陣的方程組為病態(tài)方程組
  • 秦老師
    雖然范德蒙矩陣a的行列式可以求出來(lái)，并且發(fā)現(xiàn)只要x_i互不相同，它的行列式就不是0，但是它的條件數(shù)實(shí)際上是非常大的。條件數(shù)的定義是
    cond(a) = ||a||||a^{-1}||
    其中范數(shù)||||為某種矩陣范數(shù)。即使一個(gè)矩陣可逆，但如果條件數(shù)很大對(duì)應(yīng)的方程組就是病態(tài)的。所謂”病態(tài)“可以理解為方程組對(duì)右端項(xiàng)誤差的敏感程度，比如 ax = b，如果b變化一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的x變化非常大，就說(shuō)這個(gè)方程組是病態(tài)的。著名的hilbert矩陣也是條件數(shù)很大的矩陣。
    
    從另一個(gè)方面看，假設(shè)我們知道一個(gè)n-1次多項(xiàng)式 f(x) = \sum a_i x^i
    
    在x_i (i=1...n)點(diǎn)的函數(shù)值f_i，那么求解這個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)a_i對(duì)應(yīng)的矩陣就是范得蒙矩陣。數(shù)值分析中發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題n大于8時(shí)就非常不穩(wěn)定了，可以從另一個(gè)方面解釋這個(gè)問(wèn)題。
• 毛同學(xué)
  如果一個(gè)矩陣和它的轉(zhuǎn)置相乘為單位矩陣，這個(gè)矩陣是什么矩陣？
  • 徐老師
    正交矩陣。當(dāng)然，僅僅是指方陣而言。
    
    正交矩陣的特點(diǎn)：行列式的絕對(duì)值是1，行和列都是與矩陣階數(shù)相同維數(shù)的向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，作為線性變換不改變長(zhǎng)度和內(nèi)積，等等。
• 馬同學(xué)
  馬氏距離公式中的協(xié)方差矩陣為什么要用逆矩陣
  • 王老師
    協(xié)方差矩陣都是正定的所以一定有逆吧~用逆矩陣的原因是相當(dāng)于除去scale對(duì)距離的影響想想一維的情況就應(yīng)該能理解了~比如說(shuō)同樣距離都是3但是對(duì)于方差大的數(shù)據(jù)這個(gè)距離就算小了所以要用距離再除以方差高維情況就是協(xié)方差陣的逆了~