考研真題中為何x+y=2能滿足一正？如果是一正一負怎么辦？

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• 酒同學
  已知xy是正整數x≤2001x^2+1＝2y^2求所有滿足條件的正整數對...
  • 劉老師
    這個叫負佩爾方程把1變成-1的話就是佩爾方程.有一套詳細的理論這里符號也打不清楚我就不細說了你要是想了解更詳細的理論自己搜一下吧.對于這道題來講大概是這樣的首先平方差公式(x-√2y)(x+√2y)=-1兩邊取奇數次方(x-√2y)^n(x+√2y)^n=-1這里n是奇數而注意到(x+√2y)^n = xn+√2yn（就是用二項式定理展開然后把有根號的合并這里xnyn都是整數n是下標）同理(x-√2y)^n=xn-√2yn（√2都來自奇數次項負號也體現(xiàn)在奇數次項所以直接yn加負號就好）因此上述等式轉化為xn^2 - 2yn^2=-1也就是說如果xy是一組解那么xnyn也是一組解.注意n是奇數這樣你已經知道11是解了那么(1+√2)^3=7+5√2因此7和5是一組解接下來(1+√2)^5=41+29√2因此41和29是一組解這樣就得到了所有的解.但是直接求n次方比較麻煩所以可以考慮遞推式(1+√2)^(n+2)=(1+√2)^n (3+2√2) = (xn+√2yn)(3+2√2)=(3xn+4yn) + (2xn+3yn)√2所以xn yn的下一組解是3xn+4yn和2xn+3yn
• 劉同學
  計算二重積分，∫∫(x+y)dxdy其中d為x^2+y^2≤x+y
  • 徐老師
    這題的積分區(qū)域---圓域的圓心為（1/21/2)，半徑為(√2)/2
    因為圓心非原點，所以無論用直角坐標還是極坐標，上下限都不好確定。所以應想到把圓域平移到原點處，即用坐標變換。
    但二重積分的坐標變換涉及到雅克比公式，一般來說比較麻煩，而此題只是平移，不涉及旋轉，變形之類得，所以可省去雅克比的過程。
    
    令x=(1/2)+u，y=(1/2)+v則積分圓域變?yōu)橐裕?0）為圓心，以(√2)/2為半徑。
    而原積分=∫∫(1+u+z)dudv
    因為，變換后的積分區(qū)域關于u軸和v軸都對稱，
    且被積函數1+u+z關于u和v分別為奇函數
    所以，∫∫ududv=∫∫vdudv=0
    故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=變換后圓域面積=π/2
    
    （但注意，平移的時候能像這樣代入，因為雅克比行列式等于1，其他變換還要乘以雅克比行列式。）
• 綿同學
  計算第一類曲面積分∫下標l√(x^2+y^2)ds 其中l(wèi)為圓周x^2+y^2=ax。為什么積分限為-π--π。
  • 郭老師
    如果你用的是參數方程x=(a/2)+(a/2)sint，y=(a/2)cost
    那么積分限是-π→π，或0→2π，都是可以的，結果一樣，不過這類題一般來說-π→π會簡單些，因為可以利用奇偶對稱性來化簡。